EJEMPLO 1. ÁREAS Y PERÍMETROS.

EJERCICIO

Calcular el área y el perímetro de la figura formada por los puntos: A(-2,2), B(2,7), C(5,3) y D(1,-2)

Solución

La figura formada con los cuatro puntos dados es:

Cálculo del perímetro

El perímetro de la figura será igual a la suma de la longitud de los lados que la componen, en este caso las longitudes de a₁, b₁, c₁ y d_1.

La longitud de cada lado la obtenemos empleando la fórmula utilizada para el cálculo de la distancia entre dos puntos,

 Longitud AB (a₁)

Se calcula empleando las coordenadas de dichos puntos A(-2, 2) y B(2, 7), podemos considerar cualquiera de los puntos como P1 y P2. Tomemos P1(-2, 2) y P2(2, 7) así, x1 = - 2, y1 = 2, x2 = 2 y y2 = 7.

Sustituyendo valores en la expresión para el calculo de la distancia tenemos:

Longitud BC (b₁)

Siguiendo el mismo procedimiento tenemos que P1 tomará las coordenadas del punto B y P2 las coordenadas del punto C, aclarando que puede ser al contrario sin que el resultado se altere.

P1(2, 7), las coordenadas de B                           P2(5, 3), las coordenadas de C

Por tanto, x1 = 2, y1 = 7, x2 = 5 y y2 = 3

Sustituyendo valores en la expresión para el cálculo de la distancia tenemos:

Longitud CD (c₁)

Siguiendo el mismo procedimiento tenemos que P1 tomará las coordenadas del punto C y P2 las coordenadas del punto D, aclarando que puede ser al contrario sin que el resultado se altere.

P1(5, 3) las coordenadas de C                                      P2(1, -2) las coordenadas de D

Por tanto, x1 = 5, y1 = 3, x2 = 1 y y2 = -2

Sustituyendo valores en la expresión para el cálculo de la distancia tenemos:

Longitud AD (d₁)

Siguiendo el mismo procedimiento tenemos que P1 tomará las coordenadas del punto A y P2 las coordenadas del punto D, aclarando que puede ser al contrario sin que el resultado se altere.

P1(-2, 2) las coordenadas de A                        P2(1, -2) las coordenadas de D

Por tanto, x1 = -2, y1 = 2, x2 = 1 y y2 = -2

Sustituyendo valores en la expresión para el cálculo de la distancia tenemos:

Ya con las longitudes de cada lado podemos calcular el perímetro realizando la suma de estas:

Perímetro = a1 + b1 + c1 + d1

Perímetro = 6.4 + 5 + 6.4 + 5

Perímetro = 22.8 u 

Cálculo del área

El área del polígono formado la calculamos por medio de la expresión

Debemos sustituir en forma descendente las coordenadas de cada punto de acuerdo a como se va formando la figura.

Si iniciamos por el punto A, el siguiente punto debería ser B o D. En este caso seguiremos la secuencia A, B, C, D y nuevamente A. Siempre el punto de inicio de la figura será el punto final de cierre.

La solución del determinante se obtiene de la suma de los productos cruzados descendentes y la respectiva resta de los productos cruzados ascendentes.

Notas:

1.     En caso de que el determinante resulte negativo, el valor absoluto devuelve un resultado positivo.

2. No importa si los signos positivos se anteponen a los productos descendentes o ascendentes y los        negativos a los productos en sentido inverso; el valor absoluto ajusta el signo.